Legyen adott a síkon egy O középpontú , r sugarú k(O,r) kör. A sík minden O -tól különböző P pontjához rendeljük hozzá azt a P' pontot, melyre teljesül, hogy  , valamint, hogy , azaz P' illeszkedik az O kezdőpontú  félegyenesre. Ez a hozzárendelés - az O pont kivételével - a sík minden pontjához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeli a sík egy másik pontját, tehát a sík O -tól különböző pontjaiból álló halmaznak egy transzformációja, melyet a k(O,r) -re vonatkozó inverziónak nevezünk. és így jelöljük: 

Könnyen belátható, hogy az az inverzió a körvonal pontjait önmagába, a körön belül lévő pontokat a körön kívülre viszi és viszont. Ezt a transzformációt a képpontokra alkalmazva visszakapjuk az eredeti pontokat, azaz , vagyis a transzformáció négyzete az identikus transzformáció. Ezért szokás az inverziót körre vonatkozó tükrözésnek is nevezni.

Az inverzió értelmezési tartományát és értékkészletét ki lehet terjeszteni úgy, hogy az alapkör O középpontjának is legyen inverze: Egészítsük ki az euklídeszi síkot egy " ideális" ponttal, amely éppen az O pont inverze! Ezzel az ún. inverzív síkhoz jutunk. Az inverzív síkon lényegében nem teszünk különbséget kör és egyenes között. Pl. két metsző egyenesre azt mondjuk, hogy ezek olyan körök, melyeknek egyik metszéspontja az ideális pont.

Nyilvánvaló, hogy az O -ra illeszkedő egyeneseknek az O -tól különböző pontjai ugyancsak illeszkednek ugyanerre az egyenesre. Azt mondjuk, hogy az O-ra illeszkedő egyenesek invariánsak. Az is belátható, hogy az O-ra nem illeszkedő egyenesek pontjait invertálva egy az O -ra illeszkedő kört kapunk, valamint, hogy a transzformáció körtartó, azaz egy az O -ra nem illeszkedő kör pontjainak az inverzei ugyancsak egy O-ra nem illeszkedő kör pontjai lesznek. Az inverzió szögtartó is, azaz két kör, két egyenes, vagy egy kör és egy egyenes inverzének a szöge megegyezik az eredetiek szögével.

Ahogy a tengelyes tükrözésre nézve invariáns alakzatok a tengelyre merőleges egyenesek (valamint a tengelyre merőleges körök, melyek középpontjai illeszkednek a tengelyre), az inverziónak is megvannak a maga invariáns alakzatai. Be lehet látni, hogy a k alapkörre merőleges körök (valamint a k -ra merőleges - vagyis az O -ra illeszkedő - egyenesek) invariánsak.

Ha ugyanis két kör merőlegesen metszi egymást, akkor az egyik kör metszéspontba húzott sugara a másik kör érintője, és viszont. Pl. a k kör r sugara az O középpontjához és az s körhöz tartozó érintőtávolság, így mértani közepe az OP és OP' szakaszoknak, azaz P és P' valóban egymásnak a k körre vonatkozó inverzei, ahol P a k kör tetszőleges pontja, P' pedig az [OP) félegyenesnek az s körrel alkotott másik metszéspontja.

Mivel a merőlegesség – a körök közötti is – szimmetrikus reláció, ezért  ,vagyis ha az s kör invariáns a k -ra vonatkozó inverzióra, akkor k is invariáns az s -re vonatkozó inverzióra. Az inverziónak ezt a tulajdonságát fogjuk kihasználni a hiperbolikus geometria modellezésénél.