Sugársorok

 

A hiperbolikus sík valamely centrális sugársorának az egyeneseit a P - modellen egy hiperbolikus körsor köreinek a k alapkörbe eső körívei, a hozzá tartozó szabályos görbék - koncentrikus körök - halmazát pedig az erre merőleges elliptikus körsornak a k belsejébe eső elemei modellezik.

Az egyirányú sugársor egyeneseinek a modellen egy parabolikus körsor köreinek a k, -ba eső ívei, a sugársorhoz tartozó paraciklusok halmazának egy az előzőre merőleges, ugyancsak parabolikus körsor k -beli elemei felelnek meg.

Az eltérő sugársor egyeneseit a P-modellen egy elliptikus körsor köreinek a k alapkörbe eső ívei modellezik, tartó egyenesét pedig az előző körsorra ortogonális körsornak az a köríve, ill. átmérője, amely egyenest reprezentál, tehát merőleges k -ra. E körsor többi elemének a k körbe eső körívei modellezik a hiperciklusokat.

E körsorokat szemlélve megfigyelhetjük, hogy maga a P-modell k alapköre is eleme a ciklusokat reprezentáló körsornak.

A sugársorokat, ill. ciklusaikat bemutatva természetesen ezeknek csak véges sok elemét rajzolhattuk meg. Ezek közül most egy problémával foglalkozunk kissé részletesebben: miként lehet modellezni egy adott egyenesre merőleges, egymástól egyenlő (egységnyi) távolságra lévő egyeneseket, azaz miként tudunk megadni egy egyenesen az egész számoknak megfelelő beosztást. Ezzel lényegében arra keresünk választ, hogy az abszolút geometria folytonossági, vagy másképpen mérési axiómacsoportjában megfogalmazott összefüggések szemléletessé tételére milyen lehetőségeink kínálkoznak a P-modellen.

A folytonossági axiómák eredményeképpen válik lehetővé, hogy az egyenes minden pontjához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeljünk egy valós számot, azaz előállítsunk egy számegyenest:
 

Minden szakaszhoz hozzárendelhető egy pozitív valós szám (a szakasz hossza vagy mérőszáma) úgy, hogy egybevágó szakaszok hossza egyenlő legyen, valamint, ha egy szakaszt valamely belső pontjával két szakaszra bontunk, akkor a keletkezett szakaszok mérőszámainak összege egyezzen meg az eredeti szakasz mérőszámával.  

Tetszőleges szakaszhoz rendelhetjük az 1-et. Jelöljük ki az egyenes két pontját, O-t és E -t. Rendeljük hozzá az O -hoz a 0 -t, E -hez az 1-et. (Így az OE szakaszt tekintjük egységnyinek.) Az egyenes minden X pontjához pontosan egy olyan x valós szám (az OX szakasz előjeles hossza) rendelhető hozzá, amelyre teljesül, hogy x akkor és csak akkor pozitív, ha X az O kezdőpontú E -t tartalmazó félegyenesre illeszkedik. Ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: bármely x valós számhoz pontosan egy X pontja tartozik az egyenesnek. Ezzel előállítottunk egy számegyenest, amelyen minden valós számnak kölcsönösen egyértelműen megfelel egy pont.
Itt most olyan részben matematikai részben a program elkészítése során felmerült technikai jellegű meggondolások következnek, melyeket csak a témával elmélyültebben foglalkozó olvasóinknak ajánljuk. Ezért   át szabad ugrani a  leírásunk itt következő részét, gondolatmenetünk enélkül is követhető.

Egyelőre tűzzük ki feladatul azt, hogy felvesszük a P-modell egy egyenesét, és ezen kijelöljük az egész számoknak megfelelő pontokat. Legyen ez az "egyenes" a k kör e átmérője. Az  középponthoz rendeljük a 0 -t, az e egy tetszőleges  pontjához az 1 -et. A 2 -nek megfelelő  pontot úgy kaphatjuk meg, hogy e -re merőleges "egyenest" állítunk az  pontba - legyen ez  - majd erre invertáljuk  -t:  Hasonlóan  , ahol  és  és így tovább. Ezzel a P modellen olyan " egyenes" -eket állítottunk elő, amelyek egy adott " egyenes" -t merőlegesen metszenek a pozitív egész számoknak megfelelő pontokban.

A számítógépi rajzhoz nyilvánvalóan szükségünk lesz e pontoknak a képernyő koordinátarendszerében vett koordinátáira. Mi most azonban használjunk egy olyan (euklídeszi értelemben vett, tehát hagyományos) Descartes-féle koordinátarendszert, melynek az origója a k kör O középpontja, abszcisszatengelye az (OE1) egyenes (A két koordinátarendszer közötti transzformáció számítástechnikai probléma.) A továbbiakban h(AB) -vel fogjuk jelölni a hiperbolikus sík A és B pontjának a hiperbolikus síkon mért távolságát, ugyanezen pontok P- modellbeli, (vagyis az előbbi koordinátarendszerben mért) távolságát pedig d(AB) -vel.

A feladatunk tehát az, hogy előállítsunk egy olyan  sorozatot, melyre  ,  ,  , és  , ahol e<r tetszőleges valós szám.

Vegyünk fel az O kezdőpontú félegyenesen két pontot, A -t és B -t! Legyen a=d(OA) , b=d(OB) ,  az [OB) -re (és k -ra) merőleges, B -re illeszkedő s kör sugara. Legyen továbbá  és c=d(OC) .(A hiperbolikus síkon C az A pontnak az s egyenesre vonatkozó tükörképe.) Mivel  , ezért . Másrészt  , ezért  .

Ebből  .

Így a már vázolt inverziók sorozatával az  sorozatra a következő rekurzív képletet kapjuk:

,

(ahol  tetszőleges valós szám) ,

ha  természetes szám.

Belátható, hogy  .

Az eddigiek alapján csak a természetes számoknak megfelelő pontokat tudjuk kijelölni a hiperbolikus sík azon számegyenesén, amelynek a képe a P-modellen egy átmérő.

A hiperbolikus sík A és B pontja közötti távolságot (az AB szakasz hiperbolikus mértékét) a Cayley-Klein modellen - melyen kollineáris pontok modellbeli megfelelői is kollineárisak - a  képlettel kapjuk, ahol c egy tetszőleges, de az adott modellre nézve azonos állandó, U és V pedig az A és B pontokra illeszkedő húr (vagy átmérő) két végpontja. Itt (UVAB) a négy pont által meghatározott szakaszok (előjeles) hosszából képzett számot, az ún. kettősviszonyt jelöli: 

A két modellt egymásba átvivő transzformáció, melyet itt nem részletezünk, a – közös – alapkör átmérőire illeszkedő pontokat helyben hagyja, így ez a képlet a mi esetünkben is használható azzal, hogy a c konstanst úgy kell megválasztanunk, hogy a  esetben a  feltétel teljesüljön.

Mivel  ,

ezért  .

Az  feltétel alapján megkaphatjuk c értékét: 

Ennek megfelelően a P-modell O középpontján átmenő egyenes valamely X pontjára, melyre  azt kapjuk, hogy:

.

Belátható, hogy  így X valóban az alapkör átmérőjének bármely pontja lehet, azaz  .

Nekünk viszont most e függvény inverzére van szükségünk, amely a hiperbolikus sík egy O origójú számegyenesét viszi át a P-modell Descartes-féle koordinátarendszerébe.

A h(x) függvény inverze  , amely függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a  nyitott intervallum. Belátható, hogy minden n természetes számra  , vagyis a hiperbolikus síkon felvett számegyenesnek nem csak a természetes számoknak megfelelő pontjai, hanem bármely valós számhoz tartozó pontja is megadható a P-modellen.

A hiperbolikus sugársor tartó egyenesén akkor is létre tudtunk hozni egy egységnyi szakaszokkal beosztott skálát, ha azt nem az origóra illeszkedő átmérő modellezi. Ezt azonban az itt vázolt esetre vezettük vissza.


A sugársorokat modellező programrészletek lehetőséget adnak arra, hogy a hiperbolikus sík ún. ideális pontjait is láthatóvá tegyük. A hiperbolikus geometriai fogalmaknak van egy olyan kiterjesztési lehetőségük, amely a sík minden valós pontjának megfeleltet egy ideális pontot, amely a P-modellen a pontnak a k alapkörre vonatkozó inverze. Ezt az általánosítást megengedve egy egyenesnek végtelen sok valós, két végtelentávoli, és végtelen sok ideális pontja van, melyek a modellen az egyenest reprezentáló körnek a k alapkörön kívüli ívére illeszkednek. Mondhatjuk, hogy ha a hiperbolikus síkot modellező nyitott körlapot invertáljuk a modell alapkörére, akkor - mivel az inverzió a modell minden lényeges tulajdonságát változatlanul hagyja - egy újabb modellhez juthatunk, amelynek a pontjai az inverzív sík pontjai, kivéve egy " fekete lyuk" -at, azaz egy zárt körlapot.

Az egyirányú sugársorokat és paraciklusaikat szemlélve egy igen érdekes következtetésre juthatunk. Ehhez fogalmazzunk meg egy – talán semmitmondó – állítást az abszolút geometria köréből:
 

Bármely két egyeneshez van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi át.
Tulajdonképpen magát az egybevágóság fogalmát alakítottuk úgy ki, hogy ez teljesüljön. Ezért kimondhatjuk azt, hogy
 
Az "egyenes vonalzó" egy olyan sablon, amelyet bárhol elhelyezve a síkon,  e sablon mentén egyenest tudunk rajzolni. 
A P-modellen ez a tulajdonság abban tükröződik, hogy bármely két egyenest reprezentáló körívhez van olyan – " egyenessel" megadott – inverzió, amely ezeket egymásba viszi át.

Ugyanakkor az is igaz, hogy bármely két paraciklust modellező (vagyis az alapkört érintő) körhöz van olyan tengelyes tükrözéseket modellező inverzió-sorozat, amely ezeket egymásba viszi át. Ez pedig azt jelenti, hogy:
 

Bármely két paraciklushoz van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi át. 

Eszerint a hiperbolikus síkon nem csak az egyenes megrajzolására, hanem paraciklus rajzolására alkalmas  sablon is létezik, azaz van "paraciklus vonalzó" . 
Ezek után nézzük, miben tér el egymástól a sugársorokat modellező három programrészlet!

  Tartójukkal megadott sugársorok és ciklusok
 

A centrális sugársort és a hozzá tartozó ciklusok - koncentrikus körök - halmazát egyértelműen meghatározza a sugársor tartója, azaz centruma.
A hiperbolikus sík koncentrikus körei természetesen csak akkor látszanak a P-modellen koncentrikus körnek, ha közös centrumuk a modell alapkörének a középpontja.
 
Az egyirányú sugársort és a hozzá tartozó paraciklusok halmazát egyértelműen meghatározza a sugársor tartója, azaz a sugársort alkotó egyenesek közös végtelentávoli pontja. 

Az eltérő sugársort és a hozzá tartozó hiperciklusok halmazát egyértelműen meghatározza a sugársor tartója, azaz a sugársor minden elemére merőleges egyenes. 
  Két egyenessel megadott sugársorok és ciklusok  
A sík két tetszőleges egyenese egyértelműen meghatároz egy sugársort, valamint a hozzá tartozó ciklusok halmazát. 
 
Három adott pontra illeszkedő ciklus
 
A sík három tetszőleges pontja egyértelműen meghatároz egy ciklust (vagy egyenest), amely meghatározza a hozzá tartozó sugársort. 
 
A hiperbolikus síkon a ciklus megadásához szükséges három pont közül legfeljebb kettő végtelen távoli is lehet. 
Mint láttuk, abszolút geometriai eszközökkel, így a hiperbolikus síkon is könnyen fel tudunk venni egy számegyenest, amelynek a modellezése P-modellen szintén problémamentes. Felvethető az a kérdés is, hogy miként lehetne az euklídeszi geometria Descartes - féle koordinátarendszeréhez hasonló rendszert készíteni a hiperbolikus geometriában. Erre itt találunk példát.
<<<<<<