„…az ortográfiai jelek száma huszonöt. E megállapítás lehetôvé tette, hogy háromszáz évvel ezelôtt megalkossák a Könyvtár álatlános elméletét, és megnyugtató módon megoldják az addig megfejthetetlennek látszó problémát, azt, hogy szinte valamennyi könyv kaotikus zagyvaság.”

Az Enigma, avagy az elsô feltörhetetlen kód feltörése

Dr. Arthur Scheribus, az Enigma nevû német rejtjelezôgép megalkotója az 1920-as évek elején úgy becsülte, hogy ha 1000 kriptoanalitikus mindegyikének rendelkezésére állna egy Enigma, és mindegyikük percenként 4 kulcsot próbálna ki a nap minden percében, akkor is 1,8 milliárd évre volna szükség az összes lehetséges kód végigpróbálásához, vagyis az Enigma, ha elméletileg nem is, de gyakorlatilag feltörhetetlen. Persze a német hadsereg által bevezetett titkosítási rendszer a valóságban közelrôl sem volt az, és bár minden bizonnyal túlzás volna azt állítani, hogy az Enigmán múlt a II. világháború sorsa, a dolog kétségkívül nagy jelentôséggel bírt.1
Különösen, ha az egész történetbôl a földönkívüli civilizációk keresésével kapcsolatban levonható következtetéseket is figyelembe vesszük. De haladjunk sorjában.
A lengyelek még közvetlenül az I. világháború utáni években – legalább részben persze a szovjetek által jelentett fenyegetéssel szemben – egy meglepôen hatékonyan mûködô hivatalt hoztak létre Biuro Szyfrów (kb. „titkosírási hivatal”) néven, és a hivatal akkori vezetôje az a Franciszek Pokorny volt, aki már korábban arra a következtetésre jutott, hogy egyfelôl az egyre nagyobb mennyiségû üzenettel párhuzamosan a titkosítási módszerek is mechanizálódni kezdenek (és míg korábban a papír és a toll bôven elég volt, addig most a gépek is egyre nagyobb szerepet játszanak), másfelôl pedig a különféle titkosítások megfejtéséhez a jövôben nem annyira a klasszikus mûveltségû nyelvészek és filológusok, mint inkább a matematikusok segítségére lesz szükség, mivel a kódok immár nem a szavakra, hanem az egyes betûkre2 vonatkoznak.
Pokorny legtehetségesebb tanítványa, Marian Rejewski 1932-re képes volt az Enigmának legalább egyes üzeneteit elolvasni. Ami persze nem a titkosírás-fejtés eddig egyik legjelentôsebb, bár korántsem teljes sikere miatt érdekes, hanem azért, mert a megfejtést egyrészt az segítette, hogy az Enigma „rotorjait” (a betûket tartalmazó tárcsákat) a pontos vételhez feltétlenül szükséges módon megfelelô helyzetbe állítandó – és az esetleges „elkonvertálódásokat” (vagyis ferdüléseket) kiküszöbölendô – az üzenet kezdeteként mindig ugyanazt a hat betût, a minden jelentés nélküli „PDQPDQ”-t sugározták, ami persze a különbözô, éppen alkalmazott kulcsoknak megfelelôen ugyanúgy kiadhatta az „MRAXXT”, mint a „XYULKO” jelsorozatot is.
Másfelôl pedig az is sokat számított, hogy akadt egy áruló a németek között, egy bizoyos Hans-Thilo Schmidt, aki 44 évesen új életet akarván kezdeni, egymás után eladta a birtokában lévô titkokat (beleértve az ismétlôdô jelsorozatra vonatkozó ismereteit is) a franciáknak, akik aztán mindent továbbítottak a lengyeleknek. Miként egy helyütt Rejewski is megjegyzi, az Enigma akár csak részleges feltörése is kizárólag azáltal vált lehetségessé, hogy sikerült bizonyos „kívülrôl”, nem pedig magából a rejtjelezett szövegbôl származó információkhoz is hozzájutni. Vagyis a redundancia: az a bizonyos állandóan ismétlôdô karaktersorozat megléte mellett egy olyan tudás is alapvetô szerepet játszott, amelyet viszont nem lehetett pusztán az adott jelsorozatból visszafejteni.
Úgyhogy ha most megpróbáljuk ezt az esetet a földönkívüliekkel folytatott, nagyon is hipotetikus kommunikáció egyik lehetséges, fordított modelljének tekinteni, ahol a feladat éppen az Enigmáéval ellentétes (vagyis az adott körülmények között a lehetô legbiztosabbnak kell lennünk abban, hogy üzenetünk a lehetô legegyszerûbben és legkézenfekvôbben visszafejthetô), úgy kétségkívül arra a következtetésre kell jutnunk, hogy miközben szükségünk van az elképzelhetô legnagyobb mértékû redundanciára, aközben ez önmagában még korántsem lesz elég. Kell majd valamiféle, a jelsorozaton túlmutató értelmezést lehetôvé tevô közös kiindulási pont is – valami olyasmi, ami egyaránt közös a mi tudásunkban és az idegenekében.
Elvégre éppen a redundancia és azok a bizonyos, kívülrôl származó információk tették lehetôvé az Enigma feltörését is.
Ami a földönkívülieknek szóló üzenetet illeti, elsôre persze legalábbis kérdéses, hogy mi is lehet ez a számukra és számunkra egyaránt közös elem. A szovjet rádiócsillagász, B. I. Panovkin egy SETI-konferencián annak idején egyenesen azt állította, hogy „élesen fogalmazva: nem tudunk megkülönböztetni egy szimbolikus (vagyis jel)rendszert egy nem szimbolikustól… nincsen olyan elszigetelt szimbólumrendszer, amelyet meg lehetne érteni pusztán magából a szimbólumrendszerbôl kiindulva; lehetetlen megállapítani a szimbólumok egymáshoz való viszonyát… Ez alapvetôen korlátozza az összes olyan, intersztelláris nyelvvel való kísérletet, mint amilyen a LINCOS.” Amennyiben azt reméljük, hogy valamikor mégis képesek leszünk majd felvenni a kapcsolatot – legalábbis bizonyos – földönkívüli civilizációkkal, úgy legfeljebb abban bízhatunk, hogy miközben Panovkinnak minden bizonnyal igaza van, aközben azt azért ô sem állítja, hogy bármilyen körülmények között lehetetlen a kapcsolatfelvétel.

Egy látszólagos kitérô: a matematikától a matematikákig

A híres lengyel sci-fi író, Stanislaw Lem Az Úr hangja címû regényében3 azt mondja, hogy „a »mesterséges« és a  »természetes«  közötti különbség nem teljesen objektív, nem abszolúte adott, hanem viszonylagos, és az alkalmazott vonatkoztatási rendszertôl függ. Az élô szervezetek anyagcseretermékeit természetes képzôdményeknek szokás tekinteni. Ha nagyon sok cukrot eszem, a fölösleget a veséim kiválasztják. Mármost az, hogy a vizeletemben levô cukor »mesterséges« vagy »természetes«, az én intenciómtól függ.  Ha szándékosan ettem annyi cukrot, hogy a vizeletemben megjelenjen, mert ismerem a jelenség mechanizmusát, és elôre láttam cselekményem következményeit, akkor a cukor jelenléte »mesterséges« lesz, de ha csak azért ettem cukrot, mert ízlett, akkor jelenléte »természetes«.”
A kérdés tehát leginkább az, hogy mirôl ismerhetjük fel az idegen civilizációt, illetve az által a küldött jeleket: mi alapján dönthetjük el, hogy természetesek-e, vagy mesterségesek, és a legcélszerûbb talán abból kiindulni, hogy mi milyen jeleket sugároznánk az idegenek felé, ha azt akarnánk, hogy ôk is képesek legyenek azokat felismerni – vagyis, hogy mik is azok az elemek, melyeknek (szerintünk) minden számításba jöhetô civilizációban jelen kell lenniük.4 Második lépésben pedig arra kell választ találnunk, hogy miként, milyen formában lehet ezt úgy kisugározni, hogy minden potenciális címzett képes legyen elkülöníteni a kozmikus zajoktól.
És ha ez sikerül, akkor ezzel Panovkint mintegy kijátszhatjuk, hiszen amennyiben meg tudunk fogalmazni egy olyan üzenetet, amirôl „minden értelmes lény számára nyilvánvaló”, hogy üzenet (és jobb esetben az is, hogy mit tartalmaz), akkor a jelek kultúrafüggetlensége ellenére is megvan a kulcs, és ezt az üzenetet a továbbiakban afféle  „PDQPDQ”-ként, a német Enigma kezdô-karaktersorozataként használhatjuk (illetve használhatják az idegenek) a visszafejtéshez.

A dolog persze egyáltalán nem lesz egyszerû

A SETI-vel5 foglalkozó kutatók egyik kedvenc elôfeltevése, hogy például egy, a prímszámokra épülô rendszer6 tökéletesen megfelelô megoldás, és ezzel implicit módon bár, de azt is feltételezik, hogy minden civilizáció a miénkhez hasonló matematikával rendelkezik. Mivel azonban a prímszám fogalma az osztáson alapul, és mivel elképzelhetôek olyan matematikák is, ahol az osztás nem szerepel, ezért ez annyiban mindenképpen támadható elôfeltevés, hogy az értelem és a prímszámok ismerete közé nem tehetünk automatikusan egyenlôségjelet: korábban is voltak (sôt talán még ma is vannak) a Földön olyan kultúrák, melyek képtelenek lennének egy prímszámokra alapuló üzenetet visszafejteni, mivel egyszerûen nem ismerik a prímek fogalmát. Komoly hiba volna a mi birtokunkban lévôt az egyetlen lehetséges és abszolút matematikának tekinteni, és ami azt illeti, a látszattal ellentétben a földi matematika sem egységes.
„A matematika alapjairól szóló modern vitában – írja Davis és Hersh a matematika élményérôl szóló könyvükben – három visszatérô dogma bukkan elô: a platonizmus, a formalizmus és a konstruktivizmus.” Az elsô szerint a matematikai objektumok valósak, és attól függetlenül léteznek, hogy mit tudunk róluk – vagyis a matematikus tulajdonképpen nem kitalálja, hanem felfedezi a törvényszerûségeket,7 és „a platonizmus szerint a matematikus empirikus tudós, akárcsak a geológus”.
A formalisták viszont úgy gondolják, hogy „egyáltalán nincsenek is matematikai objektumok. A matematika csak axiómákból, definíciókból és tételekbôl áll, azaz formulákból. Egy szélsôséges nézet szerint csak szabályok vannak, amelyek segítségével az egyik formulát levezethetjük a másikból, de maguk a formulák nem szólnak semmirôl sem, csak szimbólumok sorozatai”, olvasható a fentebb már említett szerzôpárosnál.
A két tábor közötti vitára még azt lehetne mondani, hogy kizárólag a matematikusok magánügye, hogy hová tartozónak vallják magukat, hiszen így is, úgy is ugyanazt értik a matematikai bizonyítás alatt. A helyzet azonban rögtön más lesz, ha figyelembe vesszük azt az L. E. J. Brouwer nevéhez fûzôdô konstruktivista irányzatot is, mely szerint „a természetes számok egy alapvetô intuíció révén adottak a számunkra”, és így az egész matematikát véges sok lépésben, konstruktívan kell felépíteni belôlük.8
Ekkor viszont a „hagyományos” matematika számos tétele egyszerûen nem lesz bizonyítható (például a trichotómia törvénye sem, mely szerint minden valós szám vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla), és David Hilbert, a XX. század egyik legnagyobb matematikusa egyenesen arról panaszkodott, hogy Brouwer hívei „arra törekszenek, hogy oly módon mentsék meg a matematikát, hogy mindent kidobnak, ami csak bajt okozhat… Felaprítanák és összekaszabolnák a tudományt.” És ami még ennél is nagyobb baj: ezek szerint lényegében az ízlés, a tradíció vagy a személyes meggyôzôdés dönti el, hogy a formalista-platonista vagy a brouwerista matematikát fogadjuk-e el, hiszen ezeken túl nincsen semmiféle közös alap vagy „magasabb szempont”, amelynek segítségével a „jobbat” és „igazabbat” választhatnánk. Ha pedig ugyanolyan bátran választhatjuk (az újkori matematika jelentôs részét érvénytelennek tekintô) konstruktivizmust, mint a platonizmust, akkor talán már az is elképzelhetô, hogy egyfajta „metamatematika” keretében számtalan más, a fentebbiektôl eltérô alapokon nyugvó matematikát is létre lehet hozni, és idáig jutva már nem nehéz belátni, hogy a mi matematikánk is önkényes9 választásokon alapuló fejlôdés eredménye.
Akárcsak a feltételezett földönkívülieké.

A matematika szûrôje és a LINCOS

Persze még mindig próbálhatnánk azzal érvelni, hogy egy magasan fejlett civilizációnak10 – bármilyen alapokra is építse matematikáját – szüksége van a számolásra, hiszen máskülönben képtelen volna a mindennapi életben például a méréssel kapcsolatos problémák megoldására, de ebbôl még mindig nem következik semmi. Egy adott matematikán belül ugyanis például a számoknak nincsenek „eleve adott” tulajdonságaik – ez persze nem platonista álláspont –, hanem minden attól függ, hogy mi milyen tulajdonságokat kreálunk meg, illetve tartunk fontosnak. Például a világûrbôl érkezô jelekként egy 168 darab 0-ból és 1-bôl álló sorozatot fogva, és feltételezve, hogy ezeket megfelelôen sorrendbe állítva egy „képet” kapunk, nem valószínû, hogy el tudnánk dönteni: 14x12, 6x28 vagy 3x56 stb. oldalú téglatestet állítsunk-e össze – hacsak nem vagyunk járatosak az ókori görög matematikában. Pithagorasz számára azonban elsô ránézésre nyilvánvaló lett volna, hogy a 6x28 a helyes megoldás – ezek ugyanis ún. tökéletes számok, mivel osztóik összege magukat a számokat adja ki (1 + 2 + 3 = 6 és 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Elvileg nyugodtan elképzelhetô egy olyan forgatókönyv is, amelyben nem a prímszámok játszanak kitüntett szerepet (miként a modern matemtikában), hanem mondjuk a tökéletes számok.11
Úgyhogy ha biztosra akaruk menni, akkor legfeljebb az összeadásra és a kivonásra építhetünk – ezek nélkül ugyanis tényleg elképzelhetetlen egy technikai civilizáció. Márpedig nyilvánvaló, hogy mi ilyet keresünk: eljátszhatnánk ugyan a gondolattal, hogy esetleg léteznek olyan társadalmak is, ahol egy, a rádiójelek fogására alkalmas készüléket nem megterveznek és alkatrészekbôl összeraknak, ahogyan mi tesszük, hanem genetikai módosításokkal egy élô szervezetbôl mintegy kitenyésztik azt, és eközben még az összeadást és a kivonást sem ismerik – de egy ilyen feltételezésnek a mi szempontunkból nem sok értelme volna. Ahhoz ugyanis, hogy értelmezni lehessen a rádióhullámok által szállított információkat (amelynek a vételére elvileg ez az organikus rádióteleszkóp12 is szolgálna), mindenképpen szükség van legalább valami minimális matematikai apparátusra. Tehát számunkra, akik viszont a rádióhullámok segítségével – és persze valamiféle matematikát használva – akarunk kommunikálni velük, olyanok ezek az idegenek, mintha nem is léteznének.
Itt tehát maga a közlés módja szolgál szûrôként: aki nem értené, az észre se veszi, hogy üzenetet kapott, és fordítva: ha eléggé ügyesen kódoljuk a mondandónkat, akkor pusztán az a tény, hogy valaki képes volt fogni, egyben azt is jelenti, hogy képes lesz visszafejteni. Ugyanis csupán akkor jut el hozzá, ha a miénkhez bizonyos tekintetben hasonló civilizációban él: olyanban, amely használja az elemi matematikát, és emellett képes a mi eszközeinkhez hasonló berendezéseket létrehozni, hogy foghassa az üzenetet. És ez már afféle kozmikus kódtörô „PDQPDQ”-ként is szolgálhat, és ezért hiába van igaza Panovkinnak a kultúrafüggetlen – és ennek megfelelôen „kívülállók” számára megfejthetetlen – jelekkel kapcsolatban. Itt ugyanis két, nem nagyon különbözô civilizáció akar kommunikálni egymással.
Amihez persze egy-két további szabályt is be kell tartanunk, hogy sikerrel járhassunk. Egy Hans Freudenthal nevû holland kutató 1960-ban tette közzé tanulmányát az „univerzális matematikai nyelvrôl”, vagyis a LINCOS-ról (Design of a Language for Cosmic Intercourse), amely eleinte mintha egy alapfokú aritmetika-kurzus lenne: elôbb egyetlen impulzust adunk le, majd némi szünet után kettôt, aztán megint szünet és három stb. egészen addig, amíg (remélhetôleg) minden értelmes és aritmetikát használó lény számára egyértelmûen ki nem derül, hogy itt az egymást követô, pozitív, egész számokról van szó. Utána a „számok kódja” következik, vagyis egy impulzus, az egyenlôségjel és a LINCOS által használt egyes szám jele; két impulzus, egyenlôségjel, a kettes szám jele stb. Majd pedig az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás; és hamarosan sor kerül a természetes logaritmusra meg a hírhedt pi-re is…
Sôt, Freudenthal egy idô után megpróbálja más „emberi képességekkel” együtt a „gondolkodásra való képesség” fogalmát is bevezetni. Az absztrakt A szereplô azt kérdezi az absztrakt B-tôl, hogy mennyi 2 + 3, és B azt válaszolja, hogy 5, A pedig azt mondja B-nek, hogy helyes. Majd feltûnik C is: A azt kérdezi B-tôl, hogy mennyi 15 x 15, amire B helytelen, C viszont helyes választ ad – és máris következik a konklúzió: „C okosabb, mint B”. Ami persze legfeljebb az egyik lehetséges olvasat, és arra valószínûleg még akkor is hiába számítanánk, hogy az idegenek éppen erre a következtetésre jutnak, ha miként I. Sz. Sklovszkij, a földönkívüliek létével foglalkozó elsô könyvet megíró szovjet csillagász fogalmaz, „a levelezô elôbb-utóbb megérti, hogy ezekben az adásokban nem matematikáról van szó (ez már volt, és a példák kirívóan naivak). Ez színház, ez elôadás. S ha már így van, felmerülnek olyan fogalmak, mint az érzelem, a magatartás.”
Sklovszkij persze túlságosan is földi kategóriákban gondolkodik – és ez a problémáknak még mindig legfeljebb az egyik fele. A többi probléma abból adódik, hogy a Freudenthal-féle üzenet túlságosan is hasonlít az Enigma által generált, majdnem feltörhetetlen üzenetekre: egyáltalán nem redundáns. A címzettnek elég egyetlen bitnyi információt rosszul vennie, hogy értelmetlen jelhalmazzá változzon az egész, úgyhogy egy Yvan Dutil nevû kanadai tudós nemrégiben „hibatûrôvé” alakította át a LINCOS-t: az egyes oldalakon például újra és újra (alkalmasint többféle formában is) feltûnnek ugyanazok az információk; minden szimbólum
5 egység széles és 7 egység magas; a számok pontok sorozataként és LINCOS-szimbólumként egyaránt megjelennek, és még egy olyan állandó „hibajavító jelsorozat” is található minden oldalon, amelynek az esetleges változásaiból következtetni lehet a torzulásokra.
Ha tehát következetesen alkalmazzuk a dr. Arthur Scheribus-féle rejtjelezôgép alapján levont következtetéseket, akkor akár olyan üzenetet is létre tudunk hozni, amelyet egy hozzánk hasonló civilizáció nagy valószínûséggel képes volna megfejteni.
És az megint más kérdés, hogy egy ilyen, a miénkhez hasonló civilizáció létezésének a valószínûsége esetleg nulla.

Jegyzetek

1 David Kahn, a talán legelismertebb kriptográfiatörténeti mû, a Codebreakers szerzôje úgy fogalmaz az „atlanti csatát” illetôen, hogy „lényegében a kereskedelmi célú hajók tengerészei, a hajóépítôk, akik több hajót bocsátottak vízre, mint amennyit a német tengeralattjárók el tudtak süllyeszteni, meg a konvojokat védô repülôgépek és haditengerészek nyerték meg a tengeri háborút… de a titkosítás feltörése lényegesen lerövidítette, és ezáltal számos ember életét mentette meg. És ugyan milyen közremûködés lehet ennél fontosabb?” Vagyis Kahn szerint a szövetségesek – jóval nagyobb áldozatok árán persze – elôbb-utóbb akkor is diadalmaskodtak volna, ha nem sikerül az Enigmával boldogulniuk.
2 Az új titkosítási technikáknál például a „the” „t”-je külön kerül kódolásra a „h”-tól, és nem az egész „the”-t kódolják egyszerre.
3 Amely könyv természetesen a földönkívüli civilizációkkal való és végül kudarcba torkolló kapcsolatfelvételi kísérletrôl szól. Az „Úr hangja” pedig maga a földönkívüliek által sugárzott üzenet.
4 Tehát a lehetô legkultúrafüggetlenebb módon feltörhetô jelölési rendszert kell létrehoznunk, melynek a tartalma is a lehetô legkultúrafüggetlenebb.
5 SETI: Search for Extraterrestrial Intelligence, vagyis kutatás a földönkívüli értelem után. Kezdetben CETI-rôl (Communication with Extraterrestrials) beszéltek, késôbb ez változott SETI-re, amikor nyilvánvalóvá vált, hogy nem is olyan egyszerû felvenni a kapcsolatot egy idegen civilizációval.
6 Vagyis ahol a kisugárzott képek például prímszámszor prímszámú mátrixból épülnek fel, és amint erre valaki rájön, már vissza is tudja fejteni.
7 Egy platonista matematikus ennek megfelelôen persze egy pillanatig sem vonná kétségbe, hogy szükségszerûen csak ugyanazokat a matematikai törvényszerûségeket fedezheti fel bármely földönkívüli civilizáció is. Ebbôl azonban még mindig nem következik, hogy az adott (esetleg végtelen) számú matematikai objektumból pontosan ugyanazokat „találja meg” egy másik civilizáció is, mint mi, tehát a matematikájuk sem feltétlenül lesz ugyanolyan, mint a miénk.
8 Mert „nem lehet azt mondani, hogy léteznek, amíg nincsenek megkonstruálva véges sok lépésben, a természetes számokból kiindulva. Nem elegendô azt megmutatni – állapítja meg Davis és Hersh –, hogy nemlétezésük feltételezése ellentmondásra vezet.”
9 Ilyen önkényes választás végsô soron az is, hogy platonistának, formalistának vagy konstruktivistának valljuk-e magunkat.
10 A „magasan fejlett” alatt olyan civilizációt értve, amely viszonylag bonyolult technológiákat is kifejlesztett. A kérdésre még visszatérünk.
11 Meg például a „barátságos” számok, ahol az egyik szám a másik szám pozitív osztóinak összegével egyenlô. Ilyen többek között a pithagoreánusok által felfedezett 220 és a 284 is. Igaz, a barátságos számok „továbbfejlesztett” változataival még a XX. században is bíbelôdtek a matematikusok, de semmiképpen nem tekintik ôket olyan „alapvetônek”, mint a prímeket. Az is igaz persze, hogy a prímek bizonyos értelemben „egyszerûbbek” a barátságos számoknál, de a példa valószínûleg azért így is eléggé érzékletes.
12 De beszélhetnénk fényjelekkel, amit az idegenek szabad szemmel is látnak, vagy feltételezhetnénk, hogy megfelelô érzékszervük van a rádióhullámok észlelésére – a helyzet akkor is ugyanaz.

Kérjük küldje el véleményét címünkre: beszelo@c3.hu

http://www.c3.hu/scripta