Én, Montaigne, az esszéírás nagymestere szellemem pallérozása céljából úgy találtam, hogy az éleai Zénon neves apóriái közül az egyiknek, jelesül az Akhillész és a teknősbéka versenyfutásának problémáját megoldani képes vagyok, s mint eme esetleges tudás birtoklója közkinccsé teszem elméleti fejtegetésemet mindannyiunk okulására és egy évezredek óta zavarba ejtően megoldatlan találós kérdésre válaszul adandóan, íme:

Tehát a problémát felvázolandó elmondanám az esetet, melynek megoldására szólított fel a neves szkeptikus (bár ő magát így nem nevezte), s fényes logikával bebizonyította volt, hogy a kérdésre ki válaszol, csalatkozik, mert első válasza (mely a tapasztalatból meríti tudását) Zénon szerint elhamarkodott, s hamarosan belátni lesz kénytelen a bátortalan válaszoló, hogy Zénonnak van igaza (elméletileg), bárha a gyakorlat egyáltalán nem ide vezet; s egyszerűen (mivel e logikai sakkjátékban lépni már képtelen) goromba mód elutasítja a filozófiát, mert mit sem ér, ki csak olyasmihez ért, ami minden tudással ellentétes; bár csodálatot ébreszt benne a szófacsarás nemes művésze, Zénon ámulatba ejtő logikai magyarázatával, melynek megértésére mindenki képes, s mert tudja hol csalták meg kiutat nem talál; s talán újabb elgondolkodásra sarkallja a józan ész eme csődje.

Zénon tehát azt kérdezte volt, vajon a gyorsléptű Akhillészt, ha a teknősbéka kihívja versenyfutásra egy stadion hosszú távon mindössze egy tized stadion előnyt kérve, s Akhillész természetesen vállalja a versengést, akkor vajon melyikük ér a célba előbb; jelesül lehagyja-e Akhillész a teknősbékát?

Bizony Kedves Olvasóm, Te éppúgy csodálkozol e kérdésen, mint csodálkoztak már Előtted oly annyian, s nem érted hol van itt a csapda, melyet az éleai filozófus oly mesterien előkészített; s talán már mondod is a választ Nyájas Olvasóm, hogy bizony lehagyja Akhillész a teknősbékát, mert bizony túl kicsi előnyt kért a Gyorslábúval szemben, s így természetesen a teknősbéka nem nyerhet. S felháborodva gondolhatod, hogy is merte kihívni a lassú állat Akhillészt, a bajnokot.

De bizony Zénon így válaszol válaszodra, melyet kérdésére feleletül adtál: "Azonban a teknősbéka még a verseny előtt így szól Akhillészhoz: 'Gondold meg Akhillész, amit most előadok, mert akkor Tenmagad is látni fogod, hogy már most biztos, hogy vesztettél, ezért a verseny lefolyása teljesen felesleges; ugyanis Te, gyorsléptű Akhillész tized stadionnyi előnyt adtál nekem, s mikor elkezdődik a verseny egyszerre indulunk, s Te nemsokára lefutod a tized stadionnyi előnyt, melyet adtál, de bizony én addigra újabb előnyt szerzek, melyet Te nemsokára újra lefutsz, de mire odaérsz én újra előnyt szereztem, s ez így megy majd tovább végtelen hosszan, de Te soha utolérni nem tudsz, tehát meg sem előzhetsz, ha pediglen meg nem előzhetsz, akkor beláthatod gyorsléptű Akhillész, hogy meg semmiképpen nem verhetsz ebben a versengésben, tehát a versenyt elkezdeni is felesleges!' S valóban így van; nem igaz?" - s Zénon morfondírozásodon csak elégedetten mosolyog; Te pedig, Tisztelt Olvasóm bizony nem tudsz mást mondani, mint Rajtad kívül bárki más, aki megpróbálta már a kérdésre a választ megadni: "De a valóságban csak lehagyja a gyorslábú Akhillész a teknősbékát. Tehát logikádban, Zénon, biztosan hiba van." Zénon azonban csak ennyit mond: "Ha logikámban hiba van, mutass rá!" S bárhogy is erőlködsz Kedves Olvasóm, a titok nyitját nem leled.

Én azonban most megválaszolom Neked a kérdést, mert úgy látom, már Téged is bosszant a tehetetlenség; s talán úgy érzed, mindez csak szófacsarás.

Neves matematikusok foglalkoztak már a problémával, s most előadom mire is jutottak; hogy fogalmazzák meg ők a probléma mibenlétét. Tehát a pálya hossza egy stadion (kb. 200 méter ha így tetszik jobban). A teknősbéka előnye tized stadionnyi (20 méter, mint azt te is tudod). Ezt a tized stadionnyi előnyt Akhillész, ha átlagos sebessége v_A akkor t₁= s₁/v_A= 0,1stadion/v_A idő alatt teszi meg. De ugyanezen t₁ idő alatt a teknősbéka is halad előre éppen v_T (a teknősbéka sebessége) és a t₁ idő szorzata által meghatározott mennyiséget: s₂= v_T*t₁= v_T*(0,1stadion/v_A)= (v_T/v_A)*0,1stadion; s most ennyivel jár a gyorslábú Akhillész előtt. Azonban mire Akhillész ezt az előnyt lefutja: t₂= (s₂/v_A)= [(v_T/v_A)*0,1stadion]/v_A= (v_T/v_A²)*0,1stadion idő alatt, addigra a teknős újabb előnyt szerez: s₃= (v_T*t₂)= v_T*(v_T/v_A²)*0,1stadion= (v_T²/v_A²)*0,1stadion. Akhillész ezt az előnyt is lefutja t₃= s₃/v_A= (v_T²/v_A³)*0,1stadion idő alatt, de ezalatt a teknős újabb előnyt szerez. Így már látható, hogy egy n-ik szakaszban a teknős előnye: s_n= (v_T^n-1/v_A^n-1)*0,1stadion= (v_T/v_A)^n-1*0,1stadion. Mivel tudjuk, hogy v_A>v_T, ezért az egynél kisebb alapú (v_T/v_A<1!) exponenciális függvény n-1-ik hatványa mindig kisebb lesz, mint az n-2-ik hatvány, vagyis lim¥ (v_T/v_A)^n-1=0, csakhogy a függvény soha nem lesz nulla, viszont végtelenül megközelíti. Tehát a teknős igazat szólt, mikor azt mondta, hogy Akhillész semmiképp sem hagyhatja le őt. (Sőt azt is tudjuk, hogy mivel a végtelenben nullához konvergál a kifejezés, ezért a végtelenedik szakaszban (n), tehát végtelen idő múlva számolhatunk úgy, hogy az s¥ =0, de még ebben az esetben is csak utolérte a teknősbékát, s nem előzte meg. Viszont ez már végtelen idő elteltével következik be!!!)

Bizony, Nyájas Olvasóm, a legtöbb nagy matematikus próbálkozása is csődöt mondott; tehát csöppet se gondold, hogy a feladvány egyszerű.

Mindazonáltal megoldható, s erre a megoldásra fizikaprofesszorom egyik nagyszerű előadásán döbbentem rá, melynek témája az energiakvantumok mibenléte volt. Nem kívánom azonban e remekbeszabott előadást és sziporkázó gondolatmenetét megismételni, csupán a megértéshez feltétlen szükséges vázlatpontokat mondanám el, mert úgy hiszem, a rejtély kulcsát adom a Kedves Olvasó kezébe ezáltal.

Lényegre törően csak annyit (hogy ne untassak senkit, aki a fizika berkeiben nem járatos), hogy energiát nem lehet minden mennyiségben átadni egyik testről a másikra. Tudom, hogy ezt Ön, Kedves Olvasóm ugyanúgy tudja, mint jómagam, hiszen jó példa erre az olvadóbiztosíték, mely megmutatja, hogy egy átvitel esetén az átvitelnek van egy maximuma, mert azon felül az energiaátadás nem biztonságos, sőt nem is lehetséges. Én azonban most nem azt kívántam megvilágítani, hogy maximuma van, hanem hogy ugyanígy minimuma is van az átvihető energiának; még ha ezzel a köznapi életben semmiképp nem találkozunk, ugyanis ilyen kis energiamennyiségek átadásának megfigyelésére a legtöbben nem rendelkezünk megfelelő műszerrel; de ettől a jelenség még létezik, sőt elméletileg bizonyítható is. S itt vegyük észre, hogy közelítjük a megoldást, mert ott is olyan jelenségről ad számot Zénon, amit a valós világban nem ismerhetünk, elméletileg azonban mégis létezik.

Hogy is képzeljük el tehát a minimálisan átadható energiát, ha még soha nem tapasztaltunk ilyet? És itt következik a fizikaórán elemzett elmélet, mely azt mondja, hogy az energiát ne folyamatosan hömpölygő folyamként képzeljük el, hanem kis csomagocskákként! (Természetesen a köznapi életben előforduló energiamennyiségek olyan sok ilyen kis csomagocskát tartalmaznak, hogy nyugodtan beszélhetünk a csomagocskák hömpölygő folyamáról.) Ezen csomagok közt lennie kell egy legkisebbnek. Ezen legkisebb csomagnál kisebb energiát nem lehet létrehozni, tehát az ezen csomagocskában lévő energiamennyiség a legkisebb létező energiamennyiség.

S hogy is vezet ez minket közelebb a válaszhoz? Ez bizony jó kérdés, Kedves Olvasóm, de már közel járunk a végső válasz kibontásához; bár annak mindenképp feltétele, hogy megértsük azt, hogy minden, ami energia, az kvantált (tehát kis csomagok összessége). Ez lesz a tényleges megoldás kiindulópontja.

Ugyanis feltételezhetjük-e azt, hogy a tér is kvantált szerkezetű (azaz van egy bizonyos minimális távolság, aminél kisebb nem létezik)?! Kémiaóráinkon meglepődve vehettük észre, hogy az atom belsejében lévő teret tulajdonképpen csak néhány igen kis egység (atommag, elektron) tölti ki, tulajdonképpen úgy, hogy a rendelkezésre álló tér 99,9%-a üres egy adott időpillanatban. Mi több, ha mondjuk "megnézünk" egy atommagot, akkor azt tapasztaljuk, hogy a mag alkotói (nukleonok) sem szorosan egymáshoz préselve helyezkednek el, hanem "szellősen", mint az érettségiző diákok az iskolapadban. (Ha egy ilyen elemi alkotórész "helyébe képzeljük magunk", akkor beláthatjuk, hogy identitásunk egyetlen záloga, ha nem érintkezünk egy formailag hozzánk tökéletesen hasonló egyeddel, mert akkor gondolhatnánk rólunk, hogy "összenőtt sziámi ikrek" vagyunk, s ezzel identitásunkat vesztenénk, hiszen minden oldalról érintkezve a többiekkel egyetlen, szervesen is összeálló egységet alkotnánk, amiből nem lehetséges a kiszakadás.)

Ha pedig létezik távolság a két legkisebb létező alkotórészecske között, akkor ennek a távolságnak van egy minimuma (feltételezve, hogy nem minden részecske van pont ugyanolyan távol a hozzá legközelebb esőktől). Akkor pedig ez a minimumtávolság a távolságkvantum.

S most már tényleg rátérhetünk a megoldásra, amit Tisztelt Olvasóm már jogos türelmetlenséggel vár tőlem, s ezért nem habozom elővezetni azt az eredményt, amelyre tulajdonképpen jutottam, s amely véleményem szerint a Zénon által megfogalmazott apória megoldása is egyben.

Ugyanis, ha van ilyen távolságkvantum, akkor abban az esetben, amikor az n-edik szakaszban a teknősbéka előnye (s_n) e távolságkvantum alá csökkenne, akkor ez az előny már nem jön létre, mert ilyen kis távolságocska egyszerűen nem léphető (azaz a teknős nem tud olyan kicsit mozdulni, hogy a távolságkvantumnál kisebb utat tegyen meg). S ebben a pillanatban Akhillész átlépi a teknősbékát, s megnyeri a versenyt, mint ahogy azt nap mint nap tapasztaljuk is a valós életben.

De mégis, hogy lehetséges az, hogy oly sokáig e fejtvény fejtetlenül maradt? A kérdés mibenlétéből következik, ugyanis a tapasztalat és az elmélet nem állt összhangban egymással, mégpedig azért, mert egy elméleti levezetést akartunk alkalmazni egy olyan gyakorlati világra, amelyet az elmélet nem ír le helyesen. (Természetesen elképzelhető olyan szeglete a világnak, ahol a zénoni apória által leírt elmélet érvényes: ez egy mozgásmentes, statikus világ - hiszen könnyen belátható, hogy az apória szerint egy adott s távolságot nem képes megtenni Akhillész, de a teknős kezdeti előnyét minél inkább nullához közelítve azt kapjuk, hogy a távolság, amit Akhillész nem tudna megtenni, szintén nullához konvergál, ami bizonyítja, hogy az egész rendszer mozdulatlan.)

Miből következik az eltérés a tapasztalat és az elmélet között? Abból, hogy csak empirikus módszerekkel nem ismerhető meg a világ (hisz nincs ratio, amely a tapasztalatokat ismeretté alakítsa), mint ahogy csak racionalista módon sem ismerhető meg a világ (hisz az ész tabula rasa nem képes az elméleteket a tapasztalattal egyeztetni, ha nincs tapasztalat, tehát egy önmagában nézve ellentmondásmentes elméletet kaphatunk ugyan [bár azt nem tudjuk, hogy miről mit állítunk !!!], de a legkevésbé valószínű, hogy az megfelelne a valóságnak). Ezt a csapdát eszelte ki (vagy egyszerűen csak észrevette) Zénon, hogy a racionalizmus és az empirizmus tézis-antitézis viszonyban állhat.

Bár az alapelvet már Kant kimondta: "Gondolatok tartalom nélkül üresek, szemléletek fogalmak nélkül vakok."(Kant: A tiszta ész kritikája). S ezzel létrehozta a szintézist. S ezt az elvet kellett már csak alkalmazni, hogy rájöjjünk az apória titkára, s megoldására.

Remélem, Kedves Olvasóm is élvezte ezt a gondolatkísérletet, s továbbgondolhatja, hogy az általam most csak szűkösen és lényegre törően felvázolt gondolatmenet alkalmazható-e a többi zénoni apóriára is. Hisz a megoldás mindig itt van valahol, csak ne feledjük: Solus ipse!