Kocsis László

Kant és Frege: intuíció, konstrukció és a matematika objektivitása¹

Dolgozatom első részében Kant alapvető nézeteit vázolnám fel a matematikai ítéletek természetével kapcsolatban. Majd áttérek Frege Kant kritikájára az intuíció aritmetikába való bevezetését illetően, miközben röviden kitérek a matematika megalapozhatóságáról vallott nézeteik különbségére. Végül röviden vázolom annak lehetőségét, hogy Kant matematikai objektivitásról vallott nézetei, a fogalmak konstrukcióját mint matematikai módszert figyelembe véve, konzisztensek maradhatnak Frege kritikai meglátásai ellenére is.

I.

A tiszta ész kritikájának alaptézise, hogy léteznek szintetikus a priori ítéletek. Kant szerint ahhoz, hogy a szintetikus a priori ítéletek létét bizonyítsuk nem is lehetne jobb érvünk, mint felmutatni a matematikai ítéleteink sajátos természetét.

"... bízvást állíthatjuk, hogy bizonyos tiszta a priori szintetikus ismeretek, nevezetesen a tiszta matematika és a tiszta természettudomány, valóságosak és adottak; hiszen mindkettő tartalmaz olyan tételeket, amelyek részben a puszta ész alapján apodiktikusan bizonyosak, részben pedig a tapasztalat egybehangzása folytán, ámde a tapasztalattól mégis függetlenül egyetemes elismerésnek örvendenek. Rendelkezésünkre áll tehát néhány, legalábbis nem vitatott a priori szintetikus ismeret, és nem azt kell kérdeznünk: lehetségesek-e ezek (hiszen valóságosak), hanem csak azt: miként lehetségesek." (Kant (1999). 4.§.)

Egy matematikai tétel tartalmilag tehát olyan szükségszerűséggel bír, amellyel egyetlen tapasztalati állítás sem, tehát nem származhat a tapasztalatból, más szóval a priori.

Másrészt pedig Kant szerint egy a priori ítélet önmagában még nem közvetítene ismereteket a számunkra, amennyiben elegendő lenne az ítélet tartalmának megértéséhez az abban található terminusok fogalmi elemzése. Gondoljunk az analitikusság kantiánus meghatározására! Bár Kant elismeri, hogy minden analitikus a priori ítélet esetében tisztán csak az alany fogalmának kibontásával eljutunk az ítéletben kifejezett "tartalomhoz", egy ilyen fogalmi elemzés mégsem juttat minket valódi ismerethez, hiszen az alany fogalmában voltaképp minden olyat elgondoltunk már, amelyet a hozzá kapcsolt predikátum egy analitikus ítélet keretein belül "állít" róla. Az analitikus állítások tehát puszta tautológiák. Márpedig a matematikai állítások ismeretbővítő voltát senki sem vonná kétségbe, éppen ezért a matematika állításai nem lehetnek analitikusak, tehát szintetikusaknak kell lenniük.

"Igaz, első pillantásra úgy tűnik föl, hogy 7+5=12 tétel merőben analitikus, s az ellentmondás elve alapján következik a 7 és az 5 összességének fogalmából. Ha azonban közelebbről szemügyre vesszük a dolgot, azt találjuk, hogy a 7 és az 5 összegének fogalma semmi többet nem tartalmaz, csak a két szám egyetlen számban való egyesítését, és nem foglalja magában, hogy éppen melyik számot gondoljuk a kettő összefoglalásaként." (Kant (2004). B 15)

Miként lehetséges tehát, hogy a matematikai tételek szintetikus a prioriak? Kant egyértelműen foglal állást amellett, hogy ismeret nem származhat kizárólag fogalmakból. Minden tudás egyenrangú alapelemei a fogalom és a fogalom alá rendelt szemlélet. E tézis alól Kant szerint nem tehetünk kivételt. Tehát a matematikai tudás sem alapulhat tisztán a fogalmak elemzésén, egy matematikai tétel megértésekor valamiféle szemléleti képességnek is közreműködnie kell. Ellenkező esetben csak üres fogalmakkal játszanánk, és egy numerikus kifejezésekből álló állítás tartalmatlanná válna számunkra. Túl kell lépnünk a '7' fogalmán annak szemléleti megvalósulásáig (legyen az akár hét ujj, hét pont vagy hét vonal), hogy a '7+5=12' ítélet tartalmát valódi ismeretként fogadhassuk el, hiszen a '12' fogalma nem adható meg a '7' vagy az '5' fogalmának semmiféle elemzésén keresztül. Tehát ahhoz, hogy a 12 értelmet kapjon, mint a 7+5 összege a '7' fogalom alá rendelt szemlélethez részenként hozzá kell adnom az '5' fogalom alá tartozó szemléletet. Ezáltal egy olyan szemlélethez jutok, amely pontosan megfelel a '12' fogalom alá rendelhető szemléletnek. De miféle szemléletről van szó? Az ujjak, pontok, vonalak példája azt sugallja, hogy empirikus szemléletről vagy annak analógiájára elgondolt mentális reprezentációról van szó. De egy ilyen értelmezés számtalan hibát rejt magában, hiszen nincs olyan képzet, amely szigorú általánossággal alapozna meg egy ítéletet, márpedig a matematikai tételek, olyan ítéletek, amelyek mindarra érvényesek, ami megismerhető. Tisztán fogalmakkal sem operálhatunk, hiszen azok önmagukban nem nyújtanak számunkra ismereteket. Elgondolhatunk egy tárgyat, anélkül, hogy intuitíve adottnak vennénk annak jelenlétét, de akkor számolnunk kell Kant szerint azzal, hogy a tárgyról semmiféle valódi ismerettel nem fogunk bírni. "Elgondolni vagy megismerni egy tárgyat nem ugyanaz." (TÉK. B 146) Azzal, hogy elgondolok egy tárgyat, még nem következtethetek a tárgy létezésére, hiszen a tárgy nem adott számomra a szemléletben, azaz nincs semmi, ami afficiálná elmémet. Ez a közvetlen behatás nélkülözhetetlen Kant számára ahhoz, hogy egy ítélet objektív érvényéről beszéljen, ami azt jelenti, hogy a számok nem lehetnek olyan tárgyak, amelyek létezése mellett el kellene köteleznünk magunkat, mint ahogy elkötelezzük magunkat egy fizikai tárgy létezése mellett, ha tapasztalati állítást teszünk róla. A számokkal mint a tiszta matematika sajátos entitásaival nem állunk kauzális viszonyban.

De akkor hogyan beszélhetünk egy matematikai ítélet objektív érvényességéről avagy szigorú általánosságáról, ha nincsenek adva számunkra olyan tárgyak, amelyekkel közvetlen kapcsolatba kerülnénk, mikor egy számformulával van dolgunk? Mi támasztja alá a matematikai ítéletek apodiktikus bizonyosságát? A kérdés megválaszolásához figyelembe kell vennünk az a priori ismeretszerzés sajátos módszerét, miszerint "a dolgokból csak azt ismerjük meg a priori módon, amit mi magunk helyezünk beléjük." (Kant (2004). B XVIII) Az ész tehát képes arra, hogy a priori ismerjen meg tárgyakat. A fentiek mellett szóló érvként Kant az egyenlő oldalú háromszög tulajdonságait először bizonyító geométer példáját hozza fel, akinek feladata "abban áll, hogy az alakzatot annak révén alkossa meg (konstrukció útján), amit fogalmak szerint, a priori módon ő maga gondolt el benne és ábrázolt, és ha bizonyossággal akar valamit a priori módon tudni, akkor semmit nem szabad a dolognak tulajdonítania, ha az nem következik szükségszerűen abból, amit - fogalma alapján - ő maga helyezett bele." (Kant (2004). B XII) Kant matematikai tudással kapcsolatos nézetei voltaképp ennek a módszernek a matematika egészére való kiterjesztésén nyugszanak: a fogalmi konstrukción alapuló matematikai módszer elismerésén. Az egyenlő oldalú háromszög fogalmát el kellett gondolni, mielőtt a háromszög tulajdonsága bizonyítottá vált. Bár ez egy tisztán elmebeli folyamat, mégsem nélkülözheti a szemléleti megalapozást: Kant szavaival "fogalmat konstruálni annyit tesz, mint a vele a priori módon egybevágó szemléletet megjeleníteni. A fogalom megkonstruálásához tehát valamilyen nem empirikus szemlélet kívántatik." (Kant (2004). B 741) A szemlélet tehát, amely mindig érzéki, nem mindig empirikus. A tiszta szemléletben viszont az elme elvonatkoztat a tárgy jelenlététől, ami saját természetének mond ellent. Charles Parsons szintén felveti az a priori szemlélet kanti apóriáját, és a matematika szemantikájának sajátos dilemmájaként vizsgálja: a matematikai ismeretnek szintetikus jellegéből kifolyólag a lehetséges tapasztalat tárgyaira kell vonatkoznia, azaz a jelenségek fizikai világában éppúgy igaznak kell lennie, mint a tiszta matematikán belül. Ha viszont nincs jobb magyarázatunk, minthogy a matematikai megismerést, a többi ismerethez hasonlóan, a szemléletre vezessük vissza, akkor valamiféle tárgynak adottnak kell lennie számunkra a szemléletben, ami ellentmondásba kerül a matematikai tudás a priori jellegével.² Ennek az episztemológiai problémának egy jól ismert megoldása a fregei logicizmus tétele, amely szerint a matematikai tudás tisztán logikai tudás: a matematikai tárgyak felismerése nem a szemléleten alapul, hanem a matematikai állítások logikai elemzésén. A számnak eszerint nem kell jelenvalónak lennie, létezése mégis igazolható lesz a logika terminusai és definíciók segítségével. (Az elgondolás érdemeit és buktatóit e dolgozat keretei között nem tudom bővebben kifejteni, bár a későbbiekben még érintem.) Kant megoldása viszont nem tesz lehetővé a fregeihez hasonló logikai redukciót, már csak azért sem, mert Frege logikai felfogása alapjaiban különbözik Kant arisztotelészi logikájától.³

Az a priori szemlélet ellentmondásait - mely szemlélet nélkülözhetetlen a fogalmak konstruálásában, mely konstrukció pedig nélkülözhetetlen a matematikai ítéletek megalkotásában -, Kant sajátos módon oldja fel:

"Egyetlen mód van tehát csupán arra, hogy szemléletem a tárgy valóságosságát megelőzve a priori ismeretté váljék, nevezetesen, ha nem tartalmaz egyebet, mint az érzékelés formáját, amely szubjektumomban minden valóságos, tárgyak keltette benyomást megelőz." (Kant (1999). 9. §.) Az érzékelés formái: a tér, amelyről ismereteket a geometria közvetít és az idő, amellyel kapcsolatban az aritmetikából merítünk ismereteket. Ezek az ismeretek viszont csak a lehetséges tapasztalat tárgyairól szerezhető ismeretek formáját érintik.

II.

A fentiekből következő másik probléma, amit érintenünk kell, a számok alkalmazhatóságának problémája a lehetséges tapasztalat tárgyaira. Hiszen, ha Kant következetes akar maradni, akkor minden számfogalom alá megfelelő szemléletet kell, hogy rendeljen. Frege Az aritmetika alapjaiban Kant matematikával kapcsolatos nézeteire vonatkozó kritikáját éppen arra alapozza, hogy egy kantiánus megközelítés szerint, amelynek könnyedén kölcsönözhető az "empirikusság látszata", a nagy számokkal végzett műveleteknek megfeleltethető szemléleteket nem vagy legalábbis nehezen lehet tisztának nevezni. Ezért Frege egyértelműen fogalmaz, nem ismerve el a szintetikus a priori általánosíthatóságát az aritmetika egészére nézve:

"Kant nyilvánvalóan csak kis számokra gondolt. Akkor hát a számformulák, amelyeket a kis számokra a szemlélet közvetlenül világossá tesz, nagy számokra bizonyíthatóak lennének. De nem helyénvaló alapvető különbséget tenni kis és nagy számok között, különösen azért, mert nemigen húzható éles határ." (Frege (1999): 5.§.)

Igazságtalan lenne azt mondani, hogy Kant ne lett volna tudatában a Frege által is felvetett problémának. Éppen ezért nagyon határozottan nyilatkozik a számok szemléleti megközelítését illetően "...s ezt csak még tisztábban látjuk, ha valamelyest nagyobb számokat veszünk, mert akkor világosan megmutatkozik, hogy fogalmainkat tetszés szerint csűrhetjük-csavarhatjuk: a szemlélet segítségül hívása nélkül, pusztán fogalmunk elemzése útján soha nem találhatjuk meg a keresett összeget." (Kant (2004). B 16)

Amennyiben Fregének adunk igazat ebben a kérdésben, úgy azt is el kell ismernünk, hogy az aritmetikai állításaink bizonyításra szorulnak. Más szóval, ha a nagy számok esetében a szemlélet már nem tiszta, akkor mi garantálja, hogy nem tévedünk relatíve nagy számokkal végzett művelet elvégzése közben. Frege tehát amellett érvel, hogy ha egy aritmetikai állítás messze van a közvetlen szemléleti átláthatóságtól, akkor a tétel további megalapozást igényel. Nem tekinthetünk úgy a vizsgált számformulára, mint egy olyan partikuláris állításra, amely közvetlen belátható szemléleti alapon, márpedig Frege abban egyetért Kanttal, hogy az elsődleges alapoknak átláthatóaknak kell lenniük az ész számára. És mivel Frege szerint nem tehetünk különbséget kis szám és nagy szám között, minden aritmetikai állítás szemlélettől mentes bizonyításra szorul, ez olyan általános igazságokra való visszavezetésükben áll, amelyek tovább már nem bizonyíthatóak, és az ész számára közvetlenül nyilvánvalóak.

De melyek ezek az elsődleges alapok, amelyek az ész számára átláthatóak, és bizonyításuk nem csupán lehetetlen, de szükségtelen is? Egy világos megvalósulása ezeknek a bizonyíthatatlan, de általános igazságoknak: a geometriai axiómák. Frege egyébként (legalábbis Az aritmetika alapjaiban) maximálisan egyetért Kanttal abban a kérdésben, hogy a geometriai tételek szintetikus a prioriak, a geometria területén tehát az intuitív megalapozás mindkettejük számára elfogadott. Frege szavaival: "...a geometriai igazságok a térbelileg szemléletes tartománya felett uralkodnak, legyen szó ezen belül akár a valóságról, akár a képzelőerő termékéről." (Frege (1999): 14.§.) Másutt: "Ha a geometriában általános tételeket nyerünk a szemléletből, ez abból magyarázható, hogy a szemlélt pontok, egyenesek, síkok tulajdonképpen semmilyen sajátossággal nem rendelkeznek, és ezért képviselhetik egész nemüket." (Frege (1999): 13.§.) Mindez egybecseng Kant azon elgondolásaival, amelyeket az alaptételek analitikájában a szemlélet axiómáit tárgyalva a geometriáról mond:

"A geometriai axiómák az érzéki szemlélet azon a priori feltételeit fejezik ki, amelyek híján nem jöhetne létre a külső jelenség tiszta fogalmának a priori sémája, például: két pont között csak egyetlen egyenes lehetséges; két egyenes nem zár be teret, és így tovább. Ezek az axiómák csupán a mennyiségekre mint olyanokra vonatkoznak." (Kant (2004). B 204)

Az aritmetika megalapozását illetően annál nagyobb a nézetek közti eltérés. Kant szerint a meghatározott mennyiségek esetében nem lehet axiomatikus megalapozásról beszélni. Hiába mondom azt, hogy minden aritmetikai műveletre igaz az, hogy egyenlő mennyiségekhez egyenlő mennyiségeket adva egyenlő mennyiségeket kapunk, a tétel analitikus volta miatt nem lehetnek axiómák, mivel azoknak szintetikus a priori tételeknek kell lenniük. Maguk a számformulák viszont túl sokan vannak ahhoz, hogy axiómák legyenek. Kant azon elgondolása, hogy az aritmetikában nem vezethetünk be axiómákat, voltaképp tökéletesen koherens azzal a nézetével, hogy a geometriához hasonlóan, amely a tér szemléleti formáját tartalmazza, az aritmetika, mint az idő tiszta szemléleti formáján alapuló tudomány kizárólag a lehetséges tapasztalat tárgyaira vonatkozóan nyeri el objektív érvényét. Az aritmetikai állításaink visszavezetése általánosabb axiómákra, amelyek mint Kant állította, analitikusak lennének, az aritmetika tárgyakra való alkalmazhatóságát gátolná.

Mindezzel szemben Frege kitart az aritmetika geometriánál is mélyebb megalapozásának megvalósíthatóságánál. Erre pontosan a geometriába Kant óta bevezetett és konzisztensnek elfogadott nézetek vezették rá. A geometria szintetikus a priori természete megadja annak logikai lehetőségét, hogy a "szemlélet talajáról" elrugaszkodjunk. A fogalmi gondolkodás révén olyan dimenziókról vagy terekről beszélhetünk, amelyek nem részei az euklidészi térnek, az egyetlen olyan térnek, "amelynek elrendezéséről szemlélettel rendelkezünk." (Frege (1999): 14.§.) Amikor tehát ellentmondunk egy geometriai axiómának, akkor nem mondunk ellent a gondolkodás törvényeinek. Csakhogy:

"Mondhatjuk-e ugyanezt a számok tudományáról? Nem hullana-e minden zűrzavarba, ha ezek közül egyet is tagadni akarnánk? Lehetséges volna-e akkor még egyáltalán gondolkodás? ... Az aritmetikai igazságok a számlálható tartománya felett uralkodnak. Ez a legátfogóbb; hiszen nemcsak a valóságos, nemcsak a szemléletes tartozik hozzá, hanem minden gondolható. Nem szükséges-e hát, hogy a számok törvényei a gondolkodás törvényeivel a legbensőbb kapcsolatban álljanak?" (Frege (1999): 14.§.)

Az aritmetika tehát mindazzal foglakozik, ami a gondolkodás tárgya lehet, és nemcsak azzal, ami a lehetséges tapasztalat tárgya. A naprendszer tömegközéppontját egy bizonyos időintervallumban elgondolva mondhatom, hogy egy ilyen tömegközéppont van, mégsem lesz az említett dolog tapasztalatom tárgya. Az egy számnév tehát mégis referál valami elgondolhatóra. Frege észrevétele az volt, hogy az egy voltaképp azonos a naprendszer tömegközéppontjának számával, tehát egy ítéletben szinguláris terminusként is funkcionálhat egy tárgyat jelölve,⁴ amelyről azt állítjuk, hogy azonos a naprendszer tömegközéppontjával. Így az egy szám anélkül tesz szert objektív érvényességre, hogy térbeli tárgyként vagy individuális képzetként a lehetséges tapasztalat rendelkezésére állna. Ha a számok azzal vannak összefüggésben, ami a gondolkodás tárgya, akkor egy aritmetikai állítást a gondolkodás és nem a szemlélet alapján kell tudnunk igazolni.

Az eddigiek alapján most röviden felvázolnám a kanti illetve fregei aritmetikafelfogás különbségét:

Frege /Az aritmetika alapjai/:

(I.) Egy állítás nem lehet igaz, ha a benne szereplő kifejezések nem bírnak jelölő funkcióval, azaz nem referáló kifejezések. Tehát az elemi aritmetikai állításaink is csak akkor lehetnek igazak, ha a bennük szereplő terminusok a számokra mint létező tárgyakra referálnak.

(II.) (I.)-ből következik, hogy a szám tárgy, és létezésének bizonyítása a logika feladata. Tárgyak ugyanis nem csupán az érzékelőképesség által adottak számunkra. (A nyelvi-fogalmi elemzésnek elegendőnek kell lennie, semmiféle intuíció nem játszhat szerepet.)

(III.) A matematika (az aritmetika) redukálható a logikára.

Kant:

(I.') Mivel egy állítás nem közvetíthet ismereteket, ha a benne szereplő kifejezések nem a lehetséges tapasztalat tárgyaira vonatkoznak, azaz nem felel meg nekik semmiféle szemléleti, úgy egy aritmetikai állítás sem igazolható anélkül, hogy a benne szereplő terminusoknak ne felelne meg valami közvetlen szemléleti, más szóval ne vonatkozna a lehetséges tapasztalat tárgyaira.

(II.') (I.')-ből következik, hogy a szám nem tárgy, "...olyan képzet ez, mely az egy meg egy (az egynemű) szukcesszív összeadását foglalja egybe. Így tehát a szám semmi egyéb, mint egyáltalán bármely egynemű szemléletben adott sokféleség szintézisének egysége, amely azáltal jön létre, hogy a szemlélet apprehenziójában létrehozom magát az időt." (Kant (2004). B 182) Tehát a számformulák partikularitása nem alapozható meg tisztán a logikában.

(III.') A matematika (az aritmetika) nem redukálható a logikára.

Tehát a matematika objektivitásának meghatározása Kantnál és Fregénél is más alapokon nyugszik. Amely azt a további kérdést veti fel, hogy Frege helyesen kritizálja-e Kant aritmetikai nézeteit? Nem marad-e koherens Kant rendszere, megőrizve a matematika objektív érvényességét? A továbbiakban röviden amellett szeretnék érvelni, hogy a kanti rendszer konzisztenciája megőrizhető, de bizonyos fogalmak érvényességi körét le kell határolnunk.

Összegezve az eddigieket és visszatérve Frege Kant kritikájára a nagy számok szemléleti megfeleltetésével kapcsolatban, azt gondolom: Frege értelmezése összetéveszti az alkalmazás kérdését a megalapozás kérdésével. Kant valóban azt állítja, hogy a matematikai igazságok mindaddig nem jutnak objektív érvényességhez, amíg nem a lehetséges tapasztalat tárgyaira vonatkoztatjuk azokat. A tárgyak világára való alkalmazás híján üresek és jelentés nélküliek. "Bár elménk teljességgel a priori módon hozza létre mindeme tételeket, valamint ama tárgy képzetét, mellyel e tudomány foglalatoskodik, ezek semmit nem jelentenének, ha nem volnánk minden esetben képesek rá, hogy jelenségeken (empirikus tárgyakon) bemutassuk jelentésüket." (Kant (2004). B 299) De ez nem jelenti azt, hogy a matematika az empirikus világra való alkalmazásában alapozódna meg. Nem azért igaz egy matematikai állítás, mert a szemlélet igazolta számunkra. Egy (szám)fogalom konstrukciója független attól, hogy verifikálom-e azt a szemléletben, sőt szemantikai értelemben akármekkora számot konstruálhatok anélkül, hogy az episztemológiai értelemben adva lenne számomra a szemléletben. Kant egyértelműen fogalmaz "A tiszta értelmi fogalmak sematizmusáról" fejezetében:

"Ha ... elgondolok egy tetszőleges számot, mely lehet öt vagy száz, úgy ez a gondolat nem annyira maga a képmás, mint inkább ama módszer képzete, melynek segítségével egy bizonyos fogalomnak megfelelően az adott képben jelenítek meg magam előtt egy sokaságot (például az ezres számot); magát a képmást ilyen esetben aligha tudnám áttekinteni és a fogalommal összevetni. A fogalom sémáján mármost a képzelőtehetség azon eljárásának képzetét értem, mely a fogalom számára megalkotja a hozzá tartozó képmást. Tiszta érzéki fogalmaink valójában nem a tárgyak képmásain alapulnak, hanem sémákon" (Kant (2004). B 179-180)

A séma funkciója, hogy a képzelőerő "termékével" tölti fel a fogalmat, és nem az empirikus szemléletben való megfelelést keresi. A szám eszerint egy elmebeli ideális konstrukció, amelynek nem kell feltétlenül aktuális képzetet öltenie az empirikus szemléletben. A lényeg, hogy a fogalom a tiszta szemléletben a képzelőerő révén hozzájusson azon általános feltételekhez, amelyek lehetővé teszik a fogalom tárgyakra való alkalmazását. Egy szám sémája, ahogy egy térbeli alakzat sémája is a tárgyakra vonatkozás szabályait jelenti. Az aritmetika mint a számok tudománya és a geometria mint a térbeli alakzatok tudománya ezekkel a sémákkal áll kapcsolatban, és soha nem tárgyakkal vagy azok képmásaival. Ha ezt elfogadjuk, akkor azt is el kell fogadnunk, hogy a matematikai igazságok nem de re állítások, a számnevek pedig nem szinguláris terminusok.⁵ Nyilvánvaló, hogy Frege létező matematikai tárgyakat implikáló platonista logicizmusa nem fogadhat el egy ilyen konklúziót. Habár matematikáról vallott nézeteik különbsége alapvetően logikafelfogásukban gyökerezik, mégis azt gondolom Frege kritikája Kant matematikafilozófiájának helytelen értelmezésére épül.

III.

Láttuk korábban, hogy az aritmetika Kant szerint nem lehet axiomatikus: az aritmetikai állítások közvetlenül bizonyosak a szemléletre alapozva, tehát olyan partikuláris állítások, amelyek bizonyításához nincs szükség általános logikai igazságokra, egyáltalán semmilyen igazságra. Ezért a kérdés, amit a következőkben meg kell válaszolnunk a következő: Miért fogadhatjuk el bizonyíthatatlanokként az elemi aritmetika partikuláris tételeit? A kérdésre két további, egymással szorosan összefüggő problémára hívom fel a figyelmet.

1. az ismeret objektivitásának kérdése: az a világ nem lenne számunkra megismerhető, amelyikben a 7+5 nem 12-öt eredményezne. Mivel a matematika a tiszta szemléletben alapozódik meg, és ezen belül az aritmetika a belső érzékelés tiszta szemléleti formájában az idő egységek egymás után következésében konstruálja meg a számfogalmakat, minden lehetséges tapasztalat függvényeként határozhatjuk meg az aritmetikai állításokat mint szintetikus a priorikat. Más szóval matematikai állításaink helyessége egy fogalmi konstrukció eredménye, mely konstruált, minden empíriától mentes fogalom alá, ha empirikus szemléletet rendelünk, akkor objektív ismeretet kapunk a világról.

2. a logikai szükségszerűség kérdése: Kant szerint egy állítás akkor analitikus, ha tagadása logikai ellentmondásra vezet. Mivel a matematikai állítások szintetikusak, logikailag nem inkonzisztens azt állítani, hogy 7+5=13. Ennek magyarázata, hogy tapasztalásunk formájára vonatkoznak az aritmetika számformulái, ezért nem zárhatjuk ki logikai értelemben annak lehetőségét, hogy léteznek olyan világok, amelyekhez megismerőképességünk képtelen alkalmazkodni: azaz képtelen objektív ismereteket szerezni. (csak három tárgy van az illető világban, avagy olyan megismerőképességről beszélünk, amely nem bír az idővel mint szemléleti formával.) Egy aritmetikai állítás tehát nem szükségszerűen igaz minden logikailag lehetséges világban. A logika kifejezései jelentés nélküli kifejezések, olyan tautológiák, amelyek semmi szubsztantívat nem állítanak a világról. Míg a matematika állításai Kant szerint szubsztantívak a lehetséges tapasztalat tárgyait magában foglaló világot illetően.

Konklúzió: Mindebből az következik, hogy a matematika Kant számára nem bír olyan abszolút szükségszerűséggel, mint amelyet Frege szeretett volna biztosítani az aritmetika igazságainak. A matematika Kant számára nem léphet túl az emberi ismeretszerzés határain, igazságai ezzel megszűnnek örök érvényűek lenni, abban az értelemben, hogy az ítéletek igazsága nem független attól, ahogy mi racionális lények azokat elgondoljuk. Ez persze nem jelenti azt, hogy a matematika elveszíti a priori jellegét, egyszerűen arról van szó, hogy az a szükségszerűség, amellyel az a priori fogalmát azonosítja egyfajta episztemikus szükségszerűség.⁶ Az aritmetikai állítások tehát szükségszerűen igazak, de csak a tapasztalható világra irányuló megismerőképességünkre vonatkozóan. Mindaddig, amíg nem találjuk úgy, hogy az elemi matematikai ítéleteink tagadása nem veszélyezteti az emberi racionalitásról alkotott képünket, addig egyszerűen nincs szükség azok bizonyítására. Természetesen mindez csak azzal a kitétellel fogadható el számomra, hogy ha a bizonyítás mégis szükségessé válna, akkor azt nem alapozhatnánk a kanti intuíció fogalmára.

Irodalom

Hanna (2002) Robert Hanna: Mathematics for Humans: Kant's Philosophy of Arithmetic Revisited. European Journal of Philosophy 10:3, 328-353.p.

Hanna (1998) Robert Hanna: How Do We Know Necessary Truths? Kant's Answer. European Journal of Philosophy 6:2. 115-145.p.

Frege (1999) Gottlob Frege: Az aritmetika alapjai. Ford. Máté András. Áron kiadó, Budapest.

Kant (1999) Immanuel Kant: Prolegomena. Ford. John Éva és Tengelyi László. Atlantisz, Budapest.

Kant (2004) Immanuel Kant: A tiszta és kritikája. Ford. Kis János. Atlantisz, Budapest.

Parsons (2003) Charles Parsons: Matematikai szemlélet. Ford. Mekis Péter In A matematika filozófiája a 21. századán közepén 245-275.o. Osiris, Budapest.

Wong (1999) Wing-Chun Wong: On a Semantic Interpretation of Kant's Concept of Number. Synthese 121, 357-383.p.